Sens de variation

Définition   Sens de variation  d'une suite

Soit  \((u_n)\)  une suite numérique définie sur  \(\mathbb{N}\) .

• Dire que la suite  \((u_n)\)  est croissante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}\geqslant u_n\) .
• Dire que la suite  \((u_n)\)  est décroissante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}\leqslant u_n\) .
  
• Dire que la suite  \((u_n)\)  est constante signifie que, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1}=u_n\) . 
  

On en déduit facilement la propriété ci-dessous.

Propriété   Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit `(u_n)` une suite arithmétique de raison `r` .

• Si `r>0` alors la suite `(u_n)` est croissante.
  
• Si `r<0` alors la suite `(u_n)` est décroissante.
  
• Si `r=0` alors la suite `(u_n)` est constante.

 Exemple

Soit  `(u_n)`  la suite définie par \(u_0=3{,}2\) et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=u_n-2{,}5\) .

`(u_n)`  est une suite arithmétique de raison \(-2{,}5\) .

\(-2{,}5<0\)  donc la suite  `(u_n)`  est décroissante.

Remarque   Lien avec la représentation graphique

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique  \((u_n)\)  de premier terme  \(u_0\)  et de raison  \(r\)  appartiennent à la droite  \((d)\) d'équation  \(y=u_0+rx\)  de coefficient directeur  \(r\) .

Si  \(r<0\) , la suite  \((u_n)\)  est décroissante et la fonction affine  \(x \longmapsto u_0+rx\)  représentée par la droite  \((d)\) est décroissante.

Si  \(r>0\) , la suite  \((u_n)\)  est croissante et la fonction affine  \(x \longmapsto u_0+rx\)  représentée par la droite  \((d)\) est croissante.

Si  \(r=0\) , la suite  \((u_n)\)  est constante et la fonction affine  \(x \longmapsto u_0+rx\) représentée par la droite  \((d)\) est constante.